Molti processi di crescita o di decadimento,presenti  in ambito fisico,chimico,economico, biologico,archeologico e demografico, vengono modellizzati da funzioni esponenziali

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Approccio leggendario alla funzione esponenziale

Il  re di Persia invitò a corte Sissa, l’inventore del gioco degli scacchi, a esprimere qualsiasi desiderio, come ricompensa per la sua geniale invenzione.
L'interpellato rispose che voleva soltanto del riso:un chicco sulla prima casella della scacchiera, due chicchi sulla seconda, quattro sulla terza e così raddoppiando ogni volta la quantità fino alla 64-esima casella. Il re si meravigliò della modesta richiesta e diede ordine di provvedere immediatamente, ,non immaginando che la quantità di riso doveva essere 18.5 miliardi di miliardi di chicchi di riso.  
 

  Un processo di crescita esponenziale  di neutroni avviene nel fenomeno della fissione nucleare: una reazione in cui il nucleo di un elemento pesante,catturando un neutrone, decade in frammenti di minori dimensioni con emissione di una grande quantità di energia e un numero variabile di nuovi neutroni

Esempio: nella fissione nucleare dell'U₂₃₅ ad ogni collisione il numero dei neutroni prodotti triplica. Considerato un solo neutrone iniziale , la crescita è descritta dal modello  N= 3^k
 

Osservazione: le reazioni di fissione sono sfruttate nei reattori per produrre energia

Una straordinaria crescita esponenziale si osserva anche nella riproduzione delle ninfee sulla superficie di uno stagno

Il primo modello di dinamica delle popolazioni  compare nel  “Saggio sui principi della popolazione” pubblicato nel 1798 dall'economista inglese Thomas Robert Malthus.
                              
Il modello rappresentativo della crescita della popolazione è esponenziale

dove k  è il tasso di crescita della popolazione.
Malthus analizza il rapporto tra la dimensione della popolazione mondiale e la disponibilità dei mezzi di sussistenza. Egli asserisce che la crescita della popolazione ha un andamento esponenziale superiore a quello lineare delle risorse alimentari:tale squilibrio comporterebbe l'impossibilità per la popolazione di alimentarsi a suffiicienza.

Osservazione:il modello di Malthus è  un modello teorico: nella realtà molti fattori riducono la crescita (l'inquinamento,l'esaurimento  delle risorse)